Principio
de Bernoulli
Esquema del Principio de Bernoulli.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de
Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. Fue
expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica
(1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto
cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo
largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de
tres componentes:
- Cinética: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido.
- Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un
fluido posea.
- Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la
presión que posee.
La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli"
(Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.
donde:
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos:
- Viscosidad (fricción interna) = 0
Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica
se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido.
- Caudal constante
- Flujo incompresible, donde ρ es constante.
- La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en
primer lugar por Leonhard Euler.
Características y consecuencia
Cada uno de los términos de esta ecuación tiene unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de
longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción
del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen
llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del
inglés hydraulic head; el término
se suele
agrupar con
para dar
lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica.
También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones
multiplicando toda la ecuación por
, de esta
forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica,
los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática.
Esquema del efecto Venturi.
o escrita de otra manera más sencilla:
donde
Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial
gravitatoria por unidad de masa:
Así el principio de bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley
de la conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o
disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos.
Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de
cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía
potencial) implicaría una disminución de la presión. Este efecto explica porqué
las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automóvil en movimiento
cuando se abren las ventanas. La presión del aire es menor fuera debido a que
está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro, donde la presión
es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra
al vehículo pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite.
Ecuación de Bernoulli y la Primera
Ley de la Termodinámica
De la primera ley de la
termodinámica se puede concluir una ecuación estéticamente parecida a la ecuación de
Bernouilli anteriormente señalada, pero conceptualmente distinta. La diferencia
fundamental yace en los límites de funcionamiento y en la formulación de cada
fórmula. La ecuación de Bernoulli es un balance de fuerzas sobre una partícula
de fluido que se mueve a través de una línea de corriente, mientras que la
primera ley de la termodinámica consiste en un balance de energía entre los límites de un volumen de control dado, por lo cual es
más general ya que permite expresar los intercambios energéticos a lo largo de
una corriente de fluido, como lo son las pérdidas por fricción que restan
energía, y las bombas o ventiladores que suman energía al fluido. La forma
general de esta, llamémosla, "forma energética de la ecuación de
Bernoulli" es:
donde:
- Los subíndices
- g = 9,81 m/s2 y gc = 1
kg·m/(N·s2)
Suposiciones
La ecuación arriba escrita es un derivado de la primera ley de la
termodinámica para flujos de fluido con las siguientes características.
- El fluido de trabajo, es decir, aquél que fluye y que
estamos considerando, tiene una densidad constante.
- No existe cambio de energía interna.
Demostración
Recordando la definición de la entalpía
, donde
es la
energía interna y
se conoce
como volumen específico
. Podemos
escribir:
que por la suposiciones declaradas más arriba se puede reescribir como:
dividamos todo entre el término de la aceleración de gravedad
Los términos del lado izquierdo de la igualdad son relativos a los
flujos de energía a través del volumen de control considerado, es decir, son
las entradas y salidas de energía del fluido de trabajo en formas de trabajo (
) y calor (
). El
término relativo al trabajo
consideraremos
que entra al sistema, lo llamaremos
y tiene
unidades de longitud, al igual que
, que
llamaremos
quién sale
del sistema, ya que consideraremos que sólo se intercambia calor por vía de la
fricción entre el fluido de trabajo y las paredes del conducto que lo contiene.
Así la ecuación nos queda:
o como la escribimos originalmente:
Así, podemos observar que el principio de Bernoulli es una consecuencia
directa de la primera ley de la termodinámica, o si se quiere, otra forma de
esta ley. En la primera ecuación presentada en este artículo el volumen de
control se había reducido a tan solo una línea de corriente sobre la cual no
habían intercambios de energía con el resto del sistema, de aquí la suposición
de que el fluido debería ser ideal, es decir, sin viscosidad ni fricción
interna, ya que no existe un término
entre las
distintas líneas de corriente.
Aplicaciones del Principio de Bernoulli
Chimenea
Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.
Las chimeneas son altas para aprovechar que la velocidad del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sopla el viento sobre la boca de una chimenea, más baja es la presión y mayor es la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea, en consecuencia, los gases de combustión se extraen mejor.
Tubería
La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.
La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería para que aumente la velocidad del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.
Carburador de automóvil
En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.
En un carburador de automóvil, la presión del aire que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. Al disminuir la presión, la gasolina fluye, se vaporiza y se mezcla con la corriente de aire.
Flujo de fluido desde un tanque
La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.
La tasa de flujo está dada por la ecuación de Bernoulli.
Dispositivos de Venturi
En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.
En oxigenoterapia, la mayor parte de sistemas de suministro de débito alto utilizan dispositivos de tipo Venturi, el cual esta basado en el principio de Bernoulli.
Teorema de Torricelli
Donde:
Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la
expresión anterior se transforma en:
Donde:
tomando
=1
Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro
de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el
significado de este coeficiente de velocidad.
Caudal descargado
El caudal del volumen del fluido que pasa por el orificio en un tiempo,
, puede
calcularse como el producto de
, el área
real de la sección contraída, por
, la
velocidad real media del fluido que pasa por esa sección, y por consiguiente se
puede escribir la sires sobre 0,6. Así se puede apreciar la importancia
del uso de estos coeficientes para obtener unos resultados de caudal
aceptables.
Ecuación
de continuidad
De Wikipedia, la enciclopedia libre
En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma
matemática, ya sea de forma integral como de forma diferencial.
Teoría electromagnética
En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece
que la divergencia de la densidad de corriente es igual al
negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:
En otras palabras, sólo podrá haber un flujo de corriente si la cantidad
de carga varía con el paso del tiempo, ya que está disminuyendo o aumentando en
proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.
Mecánica de fluidos
En mecánica de fluidos, una ecuación
de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma
diferencial es:
donde
es la
densidad, t el tiempo y
Mecánica cuántica
En Mecánica cuántica, una ecuación
de continuidad es una ecuación de conservación de la probabilidad. Su forma
diferencial es:
Donde
es la densidad de probabilidad de la función de ondas y
es la
corriente de probabilidad o densidad de corriente.
Mecánica relativista
En la teoría especial de la
relatividad, una ecuación de continuidad debe escribirse en forma covariante, por lo que la ecuación de continuidad usual se suele escribir en
teoría de la relatividad como:
En el contexto de la teoría general de la
relatividad las derivadas parciales deben substituirse por derivadas covariantes:
(Teorema de
benoulli)
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